Σύνταξη: Χρήστος Κόντης
Καταξιωμένοι στοχαστές έχουν υποστηρίξει πως τα θεωρήματα μη πληρότητας άπτονται του κεντρικού ερωτήματος των ανθρωπιστικών επιστημών, σε τι συνίσταται η ανθρώπινη ιδιότητα.
Υπό αυτή την έννοια, ένα μαθηματικό θεώρημα που δια των συνεπειών του αγγίζει ένα τέτοιο ερώτημα -συνυφασμένο με το συγκεχυμένο ζήτημα της ανθρώπινης κατάστασης- δεν είναι απλώς πολυσήμαντο, είναι συγκλονιστικό…
Από τότε που ο άνθρωπος κατέβηκε από τα δέντρα και άρχισε να περιπλανάται, βασική του αγωνία του ήταν η εξασφάλιση της τροφής. Πριν ακόμη αρχίσει να καλλιεργεί, και για λόγους συνδιαλλαγής με τους ομοίους του, είχε αρχίσει ήδη να μετράει.
Στην πάροδο του χρόνου, κάποιοι λαοί μετρούσαν φτιάνοντας σχοινιά με κόμπους, κάποιοι άλλοι χρησιμοποιούσαν πήλινα κουπόνια ή μάρκες και κάποιοι άλλοι μετρούσαν με τα δάχτυλα. Το 1937 βρέθηκε στην Τσεχοσλοβακία οστό με εγκοπές που δείχνει ότι αυτός που το χάραξε μπορούσε να μετράει. Το οστό χρονολογείται πριν από το 30.000 χρόνια. Με την καλλιέργεια της γης εδραιώθηκε ο συσχετισμός των φυσικών αριθμών με την μέτρηση, γιατί έπρεπε να μετρούν τα σιτηρά αλλά και τη γη τους. Για τον ίδιο λόγο έπρεπε να αναπτύξουν και ένα ημερολόγιο για να γνωρίζουν την κατάλληλη εποχή για τη σπορά κ.λπ.1
Σήμερα στη ζωή μας κυριαρχούν οι αριθμοί -ο αριθμός του φορολογικού μητρώου είναι η ταυτότητα του καθενός. Το χρήμα, αναμφίβολα, αποτελεί τον υπέρτατο άρχοντα, το υπέρτατο αριθμητικό αγαθό. Όσο μεγαλύτερο είναι το σύνολο άθροισης των αριθμών που διαθέτει κανείς τόσο περισσότερες ευκαιρίες για ευτυχία πιστεύει ότι έχει. Ζούμε σε μια εποχή και ανήκουμε σε μια κοινωνία ανταγωνισμού και επιμονής για το χρήμα -με όποιο κόστος. Η χειραγώγηση όμως των αριθμών, υπονομεύει την ανθρώπινη ζωή και την ζωή του πλανήτη γενικότερα. Την «επιστήμη των θεών», όπως αποκαλούνται τα μαθηματικά, μόνο για να προσεγγίσουμε την Αλήθεια δεν την χρησιμοποιούμε πλέον. Αντ’ αυτού δημιουργήσαμε κοινωνίες που παραπληροφορούν συνειδητά τους πολίτες τους. Και όλα αυτά γίνονται ανεκτά, δεδομένου ότι κυριαρχεί ο φόβος. Το πολίτευμα των ανεπτυγμένων χωρών μόνο με την Μοναρχεία μπορούμε να το ταυτοποιήσουμε, με ηγεμόνα το χρήμα.
Μήπως έφτασε η ώρα να αναγνωρίσουμε την πραγματική αξία των αριθμών ώστε να επωφεληθούμε; Μήπως είναι απαραίτητο να επαναξιολογήσουμε τα μέσα που εφεύραμε και να τα υποτάξουμε ειρηνικά στις πραγματικές μας ανάγκες; Μήπως έφτασε η ώρα που επιβάλλεται να αναγνωρίσουμε με … μαθηματική ακρίβεια ότι είμαστε δέσμιοι των δημιουργημάτων μας; Μήπως πρέπει να δώσουμε μεγαλύτερη αξία στο όραμα που απωλέσαμε αντί των μέσων που χρησιμοποιούμε για την επίτευξη μιας δυσδιάκριτης και αόριστης ουτοπίας; Η Rebecca Goldstein μέσα από το βιβλίο της2 που αφιέρωσε στον Κουρτ Γκέντελ και το θεώρημα της μη πληρότητας των μαθηματικών, θα μας ταξιδέψει στις σκέψης του «απόγονου του Αριστοτέλη» όπως αποκαλείται, ο οποίος «συγκλόνισε τα θεμέλια των θετικών επιστημών» τον περασμένο αιώνα. ΣτΕ
Γκέντελ και Πλατωνισμός
Ο Κούρτ Γκέντελ γεννήθηκε το 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας. Πήγε στην Βιέννη με σκοπό να σπουδάσει φυσική αλλά το 1926 επικεντρώθηκε στη θεωρία των αριθμών. Το 1928 το ενδιαφέρον του στράφηκε στη μαθηματική λογική. Όταν πήρε την απόφαση να αφήσει τη φυσική για τα μαθηματικά, ήταν ήδη μυημένος στη μαγεία του πλατωνισμού. Ο Πλάτων ανέκαθεν γοήτευε τους λάτρεις των μαθηματικών. Εξάλλου, και ο ίδιος ο έλληνας φιλόσοφος τα είχε σε μεγάλη υπόληψη. Στην Ακαδημία του που ίδρυσε στην Αθήνα και που, ουσιαστικά, ήταν το πρώτο πανεπιστήμιο που λειτούργησε στην Ευρώπη, στο πέτρινο αέτωμα της εισόδους ήταν σκαλισμένη η εξής φράση: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω». Ο Γκέντελ πίστευε πως μόνο τα μαθηματικά έχουν μετα-σημασία, αφού χάρη στην κατεξοχήν φιλοσοφική τους υφή είναι διάφανα στο αντικειμενικό φώς της ιδεατής αλήθειας. Ο Πλάτων υποστήριζε πως η ομορφιά των ιδεών, που είναι απείρως μεγαλύτερη από την ομορφιά του συγκεκριμένου, μπορεί και πρέπει να εξάπτει μέσα μας πολύ πιο φλογερό πάθος απ’ ό,τι, για παράδειγμα η ομορφιά ενός ανθρώπου (που είναι από τη φύση του πλάσμα άστατο και ατελές, υπόκειται στη φθορά του χρόνου και δεν είναι βέβαιο αν θα ανταποδώσει την αγάπη μας).
Χαρακτηρίζοντας ως «έρωτα» αυτό που έζησε ως φοιτητής ο Γκέντελ, μένουμε πιστοί στον Πλάτωνα ο οποίος περιγράφει σαν ερωτική εμπειρία τη νοητική προσέγγιση και κατάκτηση της ομορφιάς της ιδεατής αντικειμενικότητας. «Έτσι πρέπει να ζει ο άνθρωπος, αγαπητέ μου Σωκράτη», είπε η ξένη από τη Μαντίνεια, «απολαμβάνοντας τη θέα τις απόλυτης ομορφιάς. Αν ποτέ την αντικρίσεις θα διαπιστώσεις πως δεν συγκρίνεται ούτε με το χρυσάφι και τα πολυτελή ρούχα, ούτε με τα ωραία αγόρια και τους εφήβους, στον οποίον τη θέα χάνεις τώρα τα λογικά σου και είσαι πρόθυμος και εσύ και πλήθος άλλοι, όταν βλέπετε τους αγαπημένους σας να βρίσκεστε διαρκώς μαζί τους, αν υπήρχε τρόπος, ούτε να τρώτε ούτε να πίνετε, αρκεί να απολαμβάνετε τη θέα και τη συντροφιά τους. Φαντάσου, λοιπόν, αν κάποιος μπορούσε να αντικρύσει την απόλυτη ομορφιά ανόθευτη, καθαρή, αμιγή, όχι ανακατεμένη με σάρκα γήινη και χρώματα και τις άλλες θνητές ματαιότητες, αλλά να μπορούσε να αντικρύσει την ομορφιά την απόλυτη, στη θεϊκή μοναδικότητα της μορφής της! Φαντάζεσαι», συνέχισε, «πως θα ήταν ανάξιος ο βίος του ανθρώπου που έχει το βλέμμα του στραμμένο σε αυτήν (την ομορφιά), και παραμένει προσηλωμένος σε αυτήν»;3. Από τον καιρό των αρχαίων ελλήνων, η μαθηματική γνώση θεωρείτο ως η λιγότερο προβληματική περιοχή της ανθρώπινης γνώσης και λειτουργούσε ως υπόδειγμα για κάθε μορφή γνώσης: βέβαιη και αδιαμφισβήτητη, με μια λέξη, αποδεδειγμένη… Κατά τον Πλάτωνα, το γεγονός ότι ο λογικός μας νους μπορεί να προσεγγίσει την αιώνια σφαίρα των αφηρημένων εννοιών, υποδηλώνει ότι ενυπάρχει σε μας το αιώνιο: ότι το μέρος του εαυτού μας που μπορεί να προσεγγίσει την μαθηματική γνώση είναι αυτό που επιβιώνει και μετά το σωματικό μας θάνατο…
Το ερώτημα λοιπόν είναι: από πού προέρχεται η μαθηματική βεβαιότητα, ποια είναι η πηγή της; Θεμέλιο της εμπειρικής γνώσης είναι η αισθητηριακή αντίληψη, αυτό που μας δίδεται άμεσα προς γνώση -ή προς σκέψη- από τον έξω κόσμο και που προσλαμβάνεται με τις αισθήσεις: την όραση την ακοή, την αφή, τη γεύση και την όσφρηση. Άρα αυτό που μας επιτρέπει την επαφή με το έξω, με τον χώρο της φυσικής πραγματικότητας, είναι η αισθητηριακή αντίληψη. Ποιο είναι όμως το θεμέλιο της μαθηματικής γνώσης; Να υπάρχει άραγε και στα μαθηματικά κάτι ανάλογο της αισθητηριακής αντίληψης, ή μήπως εδώ το θεμέλιο της γνώσης είναι η μαθηματική διαίσθηση, δηλαδή η ικανότητα που μας επιτρέπει την επαφή με αυτό που βρίσκεται εκεί έξω, στη μαθηματική πραγματικότητα;
Ο Κούρτ Γκέντελ γεννήθηκε το 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας. Πήγε στην Βιέννη με σκοπό να σπουδάσει φυσική αλλά το 1926 επικεντρώθηκε στη θεωρία των αριθμών. Το 1928 το ενδιαφέρον του στράφηκε στη μαθηματική λογική. Όταν πήρε την απόφαση να αφήσει τη φυσική για τα μαθηματικά, ήταν ήδη μυημένος στη μαγεία του πλατωνισμού. Ο Πλάτων ανέκαθεν γοήτευε τους λάτρεις των μαθηματικών. Εξάλλου, και ο ίδιος ο έλληνας φιλόσοφος τα είχε σε μεγάλη υπόληψη. Στην Ακαδημία του που ίδρυσε στην Αθήνα και που, ουσιαστικά, ήταν το πρώτο πανεπιστήμιο που λειτούργησε στην Ευρώπη, στο πέτρινο αέτωμα της εισόδους ήταν σκαλισμένη η εξής φράση: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω». Ο Γκέντελ πίστευε πως μόνο τα μαθηματικά έχουν μετα-σημασία, αφού χάρη στην κατεξοχήν φιλοσοφική τους υφή είναι διάφανα στο αντικειμενικό φώς της ιδεατής αλήθειας. Ο Πλάτων υποστήριζε πως η ομορφιά των ιδεών, που είναι απείρως μεγαλύτερη από την ομορφιά του συγκεκριμένου, μπορεί και πρέπει να εξάπτει μέσα μας πολύ πιο φλογερό πάθος απ’ ό,τι, για παράδειγμα η ομορφιά ενός ανθρώπου (που είναι από τη φύση του πλάσμα άστατο και ατελές, υπόκειται στη φθορά του χρόνου και δεν είναι βέβαιο αν θα ανταποδώσει την αγάπη μας).
Χαρακτηρίζοντας ως «έρωτα» αυτό που έζησε ως φοιτητής ο Γκέντελ, μένουμε πιστοί στον Πλάτωνα ο οποίος περιγράφει σαν ερωτική εμπειρία τη νοητική προσέγγιση και κατάκτηση της ομορφιάς της ιδεατής αντικειμενικότητας. «Έτσι πρέπει να ζει ο άνθρωπος, αγαπητέ μου Σωκράτη», είπε η ξένη από τη Μαντίνεια, «απολαμβάνοντας τη θέα τις απόλυτης ομορφιάς. Αν ποτέ την αντικρίσεις θα διαπιστώσεις πως δεν συγκρίνεται ούτε με το χρυσάφι και τα πολυτελή ρούχα, ούτε με τα ωραία αγόρια και τους εφήβους, στον οποίον τη θέα χάνεις τώρα τα λογικά σου και είσαι πρόθυμος και εσύ και πλήθος άλλοι, όταν βλέπετε τους αγαπημένους σας να βρίσκεστε διαρκώς μαζί τους, αν υπήρχε τρόπος, ούτε να τρώτε ούτε να πίνετε, αρκεί να απολαμβάνετε τη θέα και τη συντροφιά τους. Φαντάσου, λοιπόν, αν κάποιος μπορούσε να αντικρύσει την απόλυτη ομορφιά ανόθευτη, καθαρή, αμιγή, όχι ανακατεμένη με σάρκα γήινη και χρώματα και τις άλλες θνητές ματαιότητες, αλλά να μπορούσε να αντικρύσει την ομορφιά την απόλυτη, στη θεϊκή μοναδικότητα της μορφής της! Φαντάζεσαι», συνέχισε, «πως θα ήταν ανάξιος ο βίος του ανθρώπου που έχει το βλέμμα του στραμμένο σε αυτήν (την ομορφιά), και παραμένει προσηλωμένος σε αυτήν»;3. Από τον καιρό των αρχαίων ελλήνων, η μαθηματική γνώση θεωρείτο ως η λιγότερο προβληματική περιοχή της ανθρώπινης γνώσης και λειτουργούσε ως υπόδειγμα για κάθε μορφή γνώσης: βέβαιη και αδιαμφισβήτητη, με μια λέξη, αποδεδειγμένη… Κατά τον Πλάτωνα, το γεγονός ότι ο λογικός μας νους μπορεί να προσεγγίσει την αιώνια σφαίρα των αφηρημένων εννοιών, υποδηλώνει ότι ενυπάρχει σε μας το αιώνιο: ότι το μέρος του εαυτού μας που μπορεί να προσεγγίσει την μαθηματική γνώση είναι αυτό που επιβιώνει και μετά το σωματικό μας θάνατο…
Το ερώτημα λοιπόν είναι: από πού προέρχεται η μαθηματική βεβαιότητα, ποια είναι η πηγή της; Θεμέλιο της εμπειρικής γνώσης είναι η αισθητηριακή αντίληψη, αυτό που μας δίδεται άμεσα προς γνώση -ή προς σκέψη- από τον έξω κόσμο και που προσλαμβάνεται με τις αισθήσεις: την όραση την ακοή, την αφή, τη γεύση και την όσφρηση. Άρα αυτό που μας επιτρέπει την επαφή με το έξω, με τον χώρο της φυσικής πραγματικότητας, είναι η αισθητηριακή αντίληψη. Ποιο είναι όμως το θεμέλιο της μαθηματικής γνώσης; Να υπάρχει άραγε και στα μαθηματικά κάτι ανάλογο της αισθητηριακής αντίληψης, ή μήπως εδώ το θεμέλιο της γνώσης είναι η μαθηματική διαίσθηση, δηλαδή η ικανότητα που μας επιτρέπει την επαφή με αυτό που βρίσκεται εκεί έξω, στη μαθηματική πραγματικότητα;
Σε αναζήτηση τεκμηρίων
Μόνο στα μαθηματικά, το πρώτο 1/3 του 20ου αιώνα έφερε απανωτές επαναστάσεις σε επίπεδο ιδεών. Το θεώρημα της μη πληρότητας των μαθηματικών του Γκέντελ μαζί με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ και τη σχετικότητα του Αϊνστάιν, συνθέτουν το θεωρητικό τρίπτυχο που συγκλόνισε τα θεμέλια των θετικών επιστημών και περιέχονται στα πειστικότερα τεκμήρια που παρήγε η σύγχρονη σκέψη για την απόρριψη του «μύθου της αντικειμενικότητας»… Τα θεωρήματα του Γκέντελ θεωρούνται σπάνια γιατί είναι μαθηματικές αλήθειες που -έστω διφορούμενα και αμφιλεγόμενα- άπτονται και του κεντρικού ερωτήματος των ανθρωπιστικών επιστημών: τί ορίζει την ανθρώπινη υπόσταση; Από αυτή την άποψη, είναι τα πιο πολυσήμαντα θεωρήματα στην ιστορία των Μαθηματικών… Όπως στην εμπειρική γνώση, έτσι και στα μαθηματικά πρέπει να υπάρχει αυτό που δίδεται, το «δεδομένο». Το ερώτημα είναι «με ποια μέσα μας δίδεται».
Μόνο στα μαθηματικά, το πρώτο 1/3 του 20ου αιώνα έφερε απανωτές επαναστάσεις σε επίπεδο ιδεών. Το θεώρημα της μη πληρότητας των μαθηματικών του Γκέντελ μαζί με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ και τη σχετικότητα του Αϊνστάιν, συνθέτουν το θεωρητικό τρίπτυχο που συγκλόνισε τα θεμέλια των θετικών επιστημών και περιέχονται στα πειστικότερα τεκμήρια που παρήγε η σύγχρονη σκέψη για την απόρριψη του «μύθου της αντικειμενικότητας»… Τα θεωρήματα του Γκέντελ θεωρούνται σπάνια γιατί είναι μαθηματικές αλήθειες που -έστω διφορούμενα και αμφιλεγόμενα- άπτονται και του κεντρικού ερωτήματος των ανθρωπιστικών επιστημών: τί ορίζει την ανθρώπινη υπόσταση; Από αυτή την άποψη, είναι τα πιο πολυσήμαντα θεωρήματα στην ιστορία των Μαθηματικών… Όπως στην εμπειρική γνώση, έτσι και στα μαθηματικά πρέπει να υπάρχει αυτό που δίδεται, το «δεδομένο». Το ερώτημα είναι «με ποια μέσα μας δίδεται».
Τα Μαθηματικά και η Διαίσθηση
Πολλοί θεωρούν πως η μαθηματική διαίσθηση4 είναι το a priori5 ανάλογο της αισθητηριακής αντίληψης. Η διαίσθηση, όμως, κρύβει παγίδες και όχι μόνο στα μαθηματικά. Διαίσθηση υποτίθεται πως είναι κάτι που ξέρουμε έτσι απλά, χωρίς να απορρέει από κάτι άλλο που γνωρίζουμε. Προφανώς οι διαισθήσεις, ή, καλύτερα, οι διαισθητικοί ισχυρισμοί δεν είναι ίδιοι για όλους. Η αυταπάτη της «διαίσθησης» απειλεί τον άνθρωπο σε όλους του τομείς της σκέψης κατεξοχήν δε στην ηθική φιλοσοφία, όπου οι απατηλές διαισθήσεις μπορεί να έχουν ολέθριες συνέπειες στην πραγματικότητα…
Τη στιγμή που μιλάμε, υπάρχουν περιοχές στον πλανήτη που οι άνθρωποι αλληλοσκοτώνονται επειδή επικαλούνται ριζικά διαφορετικές διαισθήσεις, οι οποίες βέβαια δεν έχουν καμιά σχέση με τα μαθηματικά. Ο νους που αντιλαμβάνεται με διαισθητικό τρόπο τα μαθηματικά αλλά δεν μπορεί να αποδείξει μηχανιστικά, είναι ένα φυσικό σύστημα. Επομένως, θα πρέπει να προσανατολιστούμε στην ανάπτυξη μιας ριζικά διαφορετικής, μη-μηχανιστικής επιστήμης, με οδηγό σ’ αυτή μας την προσπάθεια τα μυστήρια της κβαντομηχανικής, η οποία θα λαμβάνει υπόψη και τις μη υπολογιστικές θεωρίες του νου. Το συμπέρασμα του Γκέντελ ήταν πως υπάρχει γνώση που μπορεί να εκφραστεί αλλά δεν μπορεί να τυποποιηθεί.
Πολλοί θεωρούν πως η μαθηματική διαίσθηση4 είναι το a priori5 ανάλογο της αισθητηριακής αντίληψης. Η διαίσθηση, όμως, κρύβει παγίδες και όχι μόνο στα μαθηματικά. Διαίσθηση υποτίθεται πως είναι κάτι που ξέρουμε έτσι απλά, χωρίς να απορρέει από κάτι άλλο που γνωρίζουμε. Προφανώς οι διαισθήσεις, ή, καλύτερα, οι διαισθητικοί ισχυρισμοί δεν είναι ίδιοι για όλους. Η αυταπάτη της «διαίσθησης» απειλεί τον άνθρωπο σε όλους του τομείς της σκέψης κατεξοχήν δε στην ηθική φιλοσοφία, όπου οι απατηλές διαισθήσεις μπορεί να έχουν ολέθριες συνέπειες στην πραγματικότητα…
Τη στιγμή που μιλάμε, υπάρχουν περιοχές στον πλανήτη που οι άνθρωποι αλληλοσκοτώνονται επειδή επικαλούνται ριζικά διαφορετικές διαισθήσεις, οι οποίες βέβαια δεν έχουν καμιά σχέση με τα μαθηματικά. Ο νους που αντιλαμβάνεται με διαισθητικό τρόπο τα μαθηματικά αλλά δεν μπορεί να αποδείξει μηχανιστικά, είναι ένα φυσικό σύστημα. Επομένως, θα πρέπει να προσανατολιστούμε στην ανάπτυξη μιας ριζικά διαφορετικής, μη-μηχανιστικής επιστήμης, με οδηγό σ’ αυτή μας την προσπάθεια τα μυστήρια της κβαντομηχανικής, η οποία θα λαμβάνει υπόψη και τις μη υπολογιστικές θεωρίες του νου. Το συμπέρασμα του Γκέντελ ήταν πως υπάρχει γνώση που μπορεί να εκφραστεί αλλά δεν μπορεί να τυποποιηθεί.
Ο θεός και η σφαίρα των αιώνιων αληθειών
Ο Γκέντελ δεν αρνούνταν ότι οι συνέπειες των θεωρημάτων του άγγιζαν τη σφαίρα του μυστικισμού, ή τουλάχιστον του θρησκευτικού. Αν μη τι άλλο ο Γκέντελ πίστευε πως το πρώτο του θεώρημα μη πληρότητας επιβεβαίωνε την Πλατωνιστική άποψη ότι υπάρχει μια υπερ-αισθητή σφαίρα αιώνιων αληθειών. Αν και ο πλατωνισμός δεν μπορεί να εξισωθεί με τη θρησκεία ή το μυστικισμό, ωστόσο υπάρχει κάποια συνάφεια.
Ο Γκέντελ, πίστευε ότι η περίφημη «οντολογική απόδειξη» για την ύπαρξη του Θεού είναι έγκυρη σε κάποια εκδοχή της. Το σκεπτικό της συγκεκριμένης απόδειξης ήταν ότι, για να αποφανθούμε σχετικά με την ύπαρξη του θεού, πρέπει πρώτα να ορίσουμε ακριβώς την έννοια Θεός. (Η πρώτη εκδοχή του οντολογικού επιχειρήματος, που διατυπώθηκε από τον Άγ. Άνσελμο, πάει κάπως έτσι: «Θεός είναι, εξ’ ορισμού, αυτό που τίποτε μεγαλύτερό του δεν μπορούμε να συλλάβουμε. Επομένως, δεν μπορούμε να συλλάβουμε το Θεό ως μη υπαρκτό, αφού σε διαφορετική περίπτωση, αν δηλαδή υπάρχει, μπορούμε να Τον συλλάβουμε ως ό, τι μεγαλύτερο υπάρχει. Συνεπώς είναι αδιανόητο να μην υπάρχει Θεός»).
Όπως είχε πει κάποτε εμπιστευτικά ο Γκέντελ σε έναν συνάδελφό του, τον φιλόσοφο Μόρτον Γουάιτ, βρισκόταν πολύ κοντά στην τελειοποίηση μιας νέας παραλλαγής του οντολογικού επιχειρήματος…
Ο Γκέντελ δεν αρνούνταν ότι οι συνέπειες των θεωρημάτων του άγγιζαν τη σφαίρα του μυστικισμού, ή τουλάχιστον του θρησκευτικού. Αν μη τι άλλο ο Γκέντελ πίστευε πως το πρώτο του θεώρημα μη πληρότητας επιβεβαίωνε την Πλατωνιστική άποψη ότι υπάρχει μια υπερ-αισθητή σφαίρα αιώνιων αληθειών. Αν και ο πλατωνισμός δεν μπορεί να εξισωθεί με τη θρησκεία ή το μυστικισμό, ωστόσο υπάρχει κάποια συνάφεια.
Ο Γκέντελ, πίστευε ότι η περίφημη «οντολογική απόδειξη» για την ύπαρξη του Θεού είναι έγκυρη σε κάποια εκδοχή της. Το σκεπτικό της συγκεκριμένης απόδειξης ήταν ότι, για να αποφανθούμε σχετικά με την ύπαρξη του θεού, πρέπει πρώτα να ορίσουμε ακριβώς την έννοια Θεός. (Η πρώτη εκδοχή του οντολογικού επιχειρήματος, που διατυπώθηκε από τον Άγ. Άνσελμο, πάει κάπως έτσι: «Θεός είναι, εξ’ ορισμού, αυτό που τίποτε μεγαλύτερό του δεν μπορούμε να συλλάβουμε. Επομένως, δεν μπορούμε να συλλάβουμε το Θεό ως μη υπαρκτό, αφού σε διαφορετική περίπτωση, αν δηλαδή υπάρχει, μπορούμε να Τον συλλάβουμε ως ό, τι μεγαλύτερο υπάρχει. Συνεπώς είναι αδιανόητο να μην υπάρχει Θεός»).
Όπως είχε πει κάποτε εμπιστευτικά ο Γκέντελ σε έναν συνάδελφό του, τον φιλόσοφο Μόρτον Γουάιτ, βρισκόταν πολύ κοντά στην τελειοποίηση μιας νέας παραλλαγής του οντολογικού επιχειρήματος…
Το Θεώρημα της μη πληρότητας των Μαθηματικών.
Η νομοτελειακή μη πληρότητα που χαρακτηρίζει ακόμη και τα τυπικά συστήματα σκέψης, δείχνει πως δεν υπάρχουν σταθερά θεμέλια για τα συστήματα που φτιάχνουμε… «Ο Γκέντελ έδειξε πως η απόπειρα, η συνέπεια ενός αριθμητικού συστήματος δεν είναι αποδείξιμη εντός του ίδιου αυτού συστήματος. Στη δεκαπεντασέλιδη έκθεσή του απέδειξε πως ένα μέρος των μαθηματικών είναι μη αποδείξιμο, πως όποια αξιώματα και αν αποδεχόμαστε στα μαθηματικά, πάντα θα υπάρχουν κάποιες αλήθειες που δεν θα επιδέχονται τεκμηρίωση…» David Edmonds John Eidinow. Όλες οι αλήθειες -ακόμη και αυτές που φαίνονταν τόσο βέβαιες ώστε να πιστεύουμε πως δεν χρειάζονται αναθεώρηση- είναι ουσιαστικά κατασκευασμένες. Ακόμα και η έννοια της αντικειμενικής αλήθειας είναι ένας κοινωνικά κατασκευασμένος μύθος. Δεν είναι ο ανθρώπινος νους, ο φορέας της γνώσης που περιέχεται στην αλήθεια, αλλά η έννοια της αλήθειας που περιέχεται στον ανθρώπινο νου, ο οποίος εν αγνοία του υπηρετεί τις κυρίαρχες οργανωτικές μορφές. Η επιστημολογία δεν είναι τίποτε άλλο από μια υνονιολογία (έλεγχος του λόγου και τις έκφρασης γενικότερα σ.τ.ε.) της εξουσίας.
Αυτή είναι, σε αδρές γραμμές, η μεταμοντέρνα ερμηνεία των θεωρημάτων του Γκέντελ… Όπως όμως περιγράφει ο Τόμας Κουν στο βιβλίο του «Η δομή των επιστημονικών επαναστάσεων»: Στην επιστήμη…δύσκολα επέρχονται καινοτομίες, καθώς βρίσκουν αντιστάσεις στο έδαφος του αναμενόμενου. Αρχικά μόνο το αναμενόμενο και το συνηθισμένο βιώνεται, ακόμη και σε περιπτώσεις που η ανωμαλία γίνεται αργότερα αντιληπτή.
…Ο Ρότζερ Πένροουζ6, στα πολυδιαβασμένα του βιβλία «Ο νέος αυτοκράτορας» και «σκιές του νου», επικαλείται τα θεωρήματα μη πληρότητας για να υποστηρίξει την άποψη ότι ο ανθρώπινος νους ό,τι κι αν είναι, σίγουρα δεν μπορεί να είναι ένας ψηφιακός υπολογιστής. Αυτό που κατά τον Πένροουζ αποδεικνύουν τα θεωρήματα του Γκέντελ είναι πως: «η ανθρώπινη σκέψη, ακόμη και στην πιο τεχνική και κανονιστική της μορφή, δηλαδή στα μαθηματικά, χρησιμοποιεί διαδικασίες ανακάλυψης της αλήθειας, οι οποίες δεν μπορούν να αναχθούν σε μηχανιστικές διεργασίες που προγραμματίζεται να εκτελεί ένας υπολογιστής»… …Τα τυπικά μας συστήματα αποτελούνται από συμφωνημένους κανόνες. Ποιος είναι όμως σε θέση να υποστηρίξει ότι εμείς -ως ατελή ανθρώπινα όντα που είμαστε- φτιάξαμε τα συστήματα αυτά με συνέπεια, πως οι κανόνες τους δεν θα επιτρέπουν αντιφατικά συμπεράσματα;
Οι θετικιστές διακήρυτταν πως τα όρια της γνωσιμότητας ταυτίζονταν με τα όρια του νοήματος, προώθησαν την προβληματική όπως το αν υπάρχει θεός (ή ηθικές αξίες, ή αφηρημένες οντότητες), έτσι που σήμερα η μη-απαντησιμότητα ορισμένων ερωτημάτων, αντί να υποδεικνύει τη δική μας γνωστική ανεπάρκεια, να θεωρείται ως ένδειξη ότι τα ερωτήματα αυτά δεν θα έπρεπε καν να έχουν τεθεί.
Στην ψυχολογία, για παράδειγμα, η συμπεριφορική σχολή, που επικράτησε για αρκετές δεκαετίες του περασμένου αιώνα, διακήρυττε πως όσοι ψυχολογικοί όροι δεν μπορούν να αναχθούν σε κάτι το παρατηρήσιμο, και συγκεκριμένα στο ερέθισμα και την αντίδραση σ’ αυτό, είναι κενοί νοήματος.
Αυτή είναι η αρνητική πλευρά της θέσης ότι ο άνθρωπος είναι το μαθηματικό μέτρο όλων των πραγμάτων, χωρίς μια ανεξάρτητη πραγματικότητα που να διασφαλίζει την συνέπεια των αξιωμάτων μας. Μέσα σε ένα ασυνεπές σύστημα μπορούμε να συνάγουμε οποιαδήποτε συμπεράσματα, αφού από μια αντίφαση μπορεί να παραχθεί οποιαδήποτε πρόταση. Από τη στιγμή λοιπόν που ο θετικισμός μετέτρεψε την εμπειριοκρατική θεωρία της γνώσης σε θεωρία του νοήματος, τα κατάλοιπα όσων παρουσιάζονται ως γνώση στο παρελθόν άρχισαν να βάλλονται ως «κενά νοήματος»…
Αντίθετα με τους θετικιστές, ο Γκέντελ πίστευε, όπως και ο Αϊνστάιν, ότι ο άνθρωπος μπορεί να προχωρήσει πέρα από την εμπειρία και να περιγράψει τον κόσμο του «επέκεινα» (αυτό που εκτείνεται πέραν του γνωστού ΣτΕ)…
Καταξιωμένοι στοχαστές έχουν υποστηρίξει πως τα θεωρήματα μη πληρότητας άπτονται του κεντρικού ερωτήματος των ανθρωπιστικών επιστημών, σε τι συνίσταται η ανθρώπινη ιδιότητα. Υπό αυτή την έννοια, ένα μαθηματικό θεώρημα που δια των συνεπειών του αγγίζει ένα τέτοιο ερώτημα -συνυφασμένο με το συγκεχυμένο ζήτημα της ανθρώπινης κατάστασης- δεν είναι απλώς πολυσήμαντο, είναι συγκλονιστικό…
Η νομοτελειακή μη πληρότητα που χαρακτηρίζει ακόμη και τα τυπικά συστήματα σκέψης, δείχνει πως δεν υπάρχουν σταθερά θεμέλια για τα συστήματα που φτιάχνουμε… «Ο Γκέντελ έδειξε πως η απόπειρα, η συνέπεια ενός αριθμητικού συστήματος δεν είναι αποδείξιμη εντός του ίδιου αυτού συστήματος. Στη δεκαπεντασέλιδη έκθεσή του απέδειξε πως ένα μέρος των μαθηματικών είναι μη αποδείξιμο, πως όποια αξιώματα και αν αποδεχόμαστε στα μαθηματικά, πάντα θα υπάρχουν κάποιες αλήθειες που δεν θα επιδέχονται τεκμηρίωση…» David Edmonds John Eidinow. Όλες οι αλήθειες -ακόμη και αυτές που φαίνονταν τόσο βέβαιες ώστε να πιστεύουμε πως δεν χρειάζονται αναθεώρηση- είναι ουσιαστικά κατασκευασμένες. Ακόμα και η έννοια της αντικειμενικής αλήθειας είναι ένας κοινωνικά κατασκευασμένος μύθος. Δεν είναι ο ανθρώπινος νους, ο φορέας της γνώσης που περιέχεται στην αλήθεια, αλλά η έννοια της αλήθειας που περιέχεται στον ανθρώπινο νου, ο οποίος εν αγνοία του υπηρετεί τις κυρίαρχες οργανωτικές μορφές. Η επιστημολογία δεν είναι τίποτε άλλο από μια υνονιολογία (έλεγχος του λόγου και τις έκφρασης γενικότερα σ.τ.ε.) της εξουσίας.
Αυτή είναι, σε αδρές γραμμές, η μεταμοντέρνα ερμηνεία των θεωρημάτων του Γκέντελ… Όπως όμως περιγράφει ο Τόμας Κουν στο βιβλίο του «Η δομή των επιστημονικών επαναστάσεων»: Στην επιστήμη…δύσκολα επέρχονται καινοτομίες, καθώς βρίσκουν αντιστάσεις στο έδαφος του αναμενόμενου. Αρχικά μόνο το αναμενόμενο και το συνηθισμένο βιώνεται, ακόμη και σε περιπτώσεις που η ανωμαλία γίνεται αργότερα αντιληπτή.
…Ο Ρότζερ Πένροουζ6, στα πολυδιαβασμένα του βιβλία «Ο νέος αυτοκράτορας» και «σκιές του νου», επικαλείται τα θεωρήματα μη πληρότητας για να υποστηρίξει την άποψη ότι ο ανθρώπινος νους ό,τι κι αν είναι, σίγουρα δεν μπορεί να είναι ένας ψηφιακός υπολογιστής. Αυτό που κατά τον Πένροουζ αποδεικνύουν τα θεωρήματα του Γκέντελ είναι πως: «η ανθρώπινη σκέψη, ακόμη και στην πιο τεχνική και κανονιστική της μορφή, δηλαδή στα μαθηματικά, χρησιμοποιεί διαδικασίες ανακάλυψης της αλήθειας, οι οποίες δεν μπορούν να αναχθούν σε μηχανιστικές διεργασίες που προγραμματίζεται να εκτελεί ένας υπολογιστής»… …Τα τυπικά μας συστήματα αποτελούνται από συμφωνημένους κανόνες. Ποιος είναι όμως σε θέση να υποστηρίξει ότι εμείς -ως ατελή ανθρώπινα όντα που είμαστε- φτιάξαμε τα συστήματα αυτά με συνέπεια, πως οι κανόνες τους δεν θα επιτρέπουν αντιφατικά συμπεράσματα;
Οι θετικιστές διακήρυτταν πως τα όρια της γνωσιμότητας ταυτίζονταν με τα όρια του νοήματος, προώθησαν την προβληματική όπως το αν υπάρχει θεός (ή ηθικές αξίες, ή αφηρημένες οντότητες), έτσι που σήμερα η μη-απαντησιμότητα ορισμένων ερωτημάτων, αντί να υποδεικνύει τη δική μας γνωστική ανεπάρκεια, να θεωρείται ως ένδειξη ότι τα ερωτήματα αυτά δεν θα έπρεπε καν να έχουν τεθεί.
Στην ψυχολογία, για παράδειγμα, η συμπεριφορική σχολή, που επικράτησε για αρκετές δεκαετίες του περασμένου αιώνα, διακήρυττε πως όσοι ψυχολογικοί όροι δεν μπορούν να αναχθούν σε κάτι το παρατηρήσιμο, και συγκεκριμένα στο ερέθισμα και την αντίδραση σ’ αυτό, είναι κενοί νοήματος.
Αυτή είναι η αρνητική πλευρά της θέσης ότι ο άνθρωπος είναι το μαθηματικό μέτρο όλων των πραγμάτων, χωρίς μια ανεξάρτητη πραγματικότητα που να διασφαλίζει την συνέπεια των αξιωμάτων μας. Μέσα σε ένα ασυνεπές σύστημα μπορούμε να συνάγουμε οποιαδήποτε συμπεράσματα, αφού από μια αντίφαση μπορεί να παραχθεί οποιαδήποτε πρόταση. Από τη στιγμή λοιπόν που ο θετικισμός μετέτρεψε την εμπειριοκρατική θεωρία της γνώσης σε θεωρία του νοήματος, τα κατάλοιπα όσων παρουσιάζονται ως γνώση στο παρελθόν άρχισαν να βάλλονται ως «κενά νοήματος»…
Αντίθετα με τους θετικιστές, ο Γκέντελ πίστευε, όπως και ο Αϊνστάιν, ότι ο άνθρωπος μπορεί να προχωρήσει πέρα από την εμπειρία και να περιγράψει τον κόσμο του «επέκεινα» (αυτό που εκτείνεται πέραν του γνωστού ΣτΕ)…
Καταξιωμένοι στοχαστές έχουν υποστηρίξει πως τα θεωρήματα μη πληρότητας άπτονται του κεντρικού ερωτήματος των ανθρωπιστικών επιστημών, σε τι συνίσταται η ανθρώπινη ιδιότητα. Υπό αυτή την έννοια, ένα μαθηματικό θεώρημα που δια των συνεπειών του αγγίζει ένα τέτοιο ερώτημα -συνυφασμένο με το συγκεχυμένο ζήτημα της ανθρώπινης κατάστασης- δεν είναι απλώς πολυσήμαντο, είναι συγκλονιστικό…
Η παράνοια δεν εξηγείται με τη λογική
Τα θεωρήματα του Γκέντελ αντανακλούν με κάποιον τρόπο την ψυχοπαθολογία του7: Όπως ακριβώς η απόδειξη της συνέπειας ενός τυπικού συστήματος δεν μπορεί να επιτευχτεί εντός αυτού του συστήματος, έτσι και η λογική μας -η πνευματική μας υγεία- δεν μπορεί να πιστοποιηθεί μέσω της λογικής. Πως μπορεί ένα άτομο που λειτουργεί μέσα σε ένα σύστημα πεποιθήσεων και απόψεων για πεποιθήσεις, να βγει έξω από αυτό το σύστημα για να πιστοποιήσει την ίδια του τη λογική; Αν η τρέλα προσβάλει συνολικά το σύστημα ενός ανθρώπου, μαζί με τους κανόνες που επιτρέπουν τις λογικές του διεργασίες, πως είναι δυνατόν αυτός ο άνθρωπος να βρει διέξοδο από την τρέλα μέσω της λογικής;
Ένα σύγγραμμα ψυχοπαθολογίας αναφέρει: «ένα παραλήρημα μπορεί να συστηματοποιηθεί με τη μορφή ιδιαίτερα ανεπτυγμένων και εκλογικευμένων σχημάτων, τα οποία παρουσιάζουν υψηλό βαθμό εσωτερικής συνέπειας αν δεχθούμε τη βασική υπόθεση… Ένα παραλήρημα μπορεί να είναι εξαιρετικά πολύπλοκο και σύνθετο, αλλά να φαίνεται λογικό».
Στην παράνοια, η λογική σκέψη δεν εγκαταλείπεται, αλλά εκτρέπεται σε μια φρενήρη και ευρηματική αναζήτηση εξηγήσεων. Ένας φίλος μου ψυχολόγος την περιέγραψε ως εξής: «Το παρανοϊκό άτομο εμφανίζει μια παράλογη λογική… Η παρανοϊκή σκέψη δεν χαρακτηρίζεται από έλλειψη λογικής, αλλά από μια λογική παραπλανητική και ανεξέλεγκτη».
Τα θεωρήματα του Γκέντελ αντανακλούν με κάποιον τρόπο την ψυχοπαθολογία του7: Όπως ακριβώς η απόδειξη της συνέπειας ενός τυπικού συστήματος δεν μπορεί να επιτευχτεί εντός αυτού του συστήματος, έτσι και η λογική μας -η πνευματική μας υγεία- δεν μπορεί να πιστοποιηθεί μέσω της λογικής. Πως μπορεί ένα άτομο που λειτουργεί μέσα σε ένα σύστημα πεποιθήσεων και απόψεων για πεποιθήσεις, να βγει έξω από αυτό το σύστημα για να πιστοποιήσει την ίδια του τη λογική; Αν η τρέλα προσβάλει συνολικά το σύστημα ενός ανθρώπου, μαζί με τους κανόνες που επιτρέπουν τις λογικές του διεργασίες, πως είναι δυνατόν αυτός ο άνθρωπος να βρει διέξοδο από την τρέλα μέσω της λογικής;
Ένα σύγγραμμα ψυχοπαθολογίας αναφέρει: «ένα παραλήρημα μπορεί να συστηματοποιηθεί με τη μορφή ιδιαίτερα ανεπτυγμένων και εκλογικευμένων σχημάτων, τα οποία παρουσιάζουν υψηλό βαθμό εσωτερικής συνέπειας αν δεχθούμε τη βασική υπόθεση… Ένα παραλήρημα μπορεί να είναι εξαιρετικά πολύπλοκο και σύνθετο, αλλά να φαίνεται λογικό».
Στην παράνοια, η λογική σκέψη δεν εγκαταλείπεται, αλλά εκτρέπεται σε μια φρενήρη και ευρηματική αναζήτηση εξηγήσεων. Ένας φίλος μου ψυχολόγος την περιέγραψε ως εξής: «Το παρανοϊκό άτομο εμφανίζει μια παράλογη λογική… Η παρανοϊκή σκέψη δεν χαρακτηρίζεται από έλλειψη λογικής, αλλά από μια λογική παραπλανητική και ανεξέλεγκτη».
Γκέντελ και Αϊνστάιν
Όπως η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν έτσι και τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, θεωρήθηκαν από πολλούς ως σταθμοί στη διανοητική εξέγερση του 20ου αιώνα κατά της αντικειμενικότητας και της ορθολογικότητας. Ένα από τα πολλά κοινά ενδιαφέροντα του Γκέντελ και του Αϊνστάιν ήταν η ενασχόλησή τους με τη φύση του χρόνου.
Ο Αϊνστάιν ερμήνευσε την θεωρία του με όρους κάθε άλλο παρά υποκειμενικούς. Πίστευε πως η θεωρία της σχετικότητας παρέχει μια ρεαλιστική περιγραφή του χρόνου, η οποία όμως διαφέρει από τον υποκειμενικό τρόπο, με τον οποίο βιώνουμε το χρόνο καθημερινά. Ο αντικειμενικός χρόνος -ο χρόνος που περιγράφουν οι εξισώσεις της θεωρίας του- δεν εμφανίζει εκείνο το χαρακτηριστικό που κάνει τόσο οδυνηρή την υποκειμενική βίωση του χρόνου: την αδιάλειπτη ροή του από το παρελθόν στο δρόμο προς ένα αναπόφευκτο θάνατο. Η αντίληψη αυτή είναι λανθασμένη αν δεχθούμε την φυσική του Αϊνστάιν, η οποία αποκαλύπτει μια πραγματικότητα πολύ πιο παράξενη από την απλοϊκή ερμηνεία ότι τα πάντα είναι σχετικά και εξαρτώνται από την υποκειμενική οπτική γωνία του καθενός. Στη φυσική του Αϊνστάιν ο χρόνος δεν περνάει, δε ρέει αέναα από ένα σταθερό παρελθόν προς ένα αβέβαιο μέλλον. Ο φυσικός χρόνος είναι το ίδιο ακίνητος με το φυσικό χώρο. Όλο το φάσμα των συμβάντων ξεδιπλώνεται στη χαλαρή τετραδιάστατη χωροχρονική πολλαπλότητα. Η διάκριση σε παρελθόν, παρόν και μέλλον -διάκριση τόσο βαθειά ριζωμένη στη σκέψη μας που χωρίς αυτή δεν μπορούμε καν να περιγράψουμε τον εσωτερικό μας κόσμο- έχει νόημα μόνο μέσα σε αυτόν τον εσωτερικό κόσμο. Όπως είχε πει κάποτε ο Αϊνστάιν στον Κάρναπ, «η βίωση του τώρα σημαίνει για τον άνθρωπο κάτι ξεχωριστό, κάτι ριζικά διαφορετικό από το παρελθόν και το μέλλον. Στη φυσική, όμως, αυτή η σημαίνουσα διαφορά δεν υπάρχει και δεν μπορεί να υπάρχει».
Ο Γκέντελ συνέλαβε ένα μοντέλο του χρόνου που ικανοποιούσε τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα, ένα μοντέλο παράξενο όπως και όλο του το έργο. Στο μοντέλο του Γκέντελ ο χρόνος είναι κυκλικός. Όλα τα συμβάντα εκτυλίσσονται ανεξάρτητα από διακρίσεις ανάμεσα σε παρελθόν, παρόν και μέλλον. Σχηματίζοντας πρότυπα που επαναλαμβάνονται αέναα, ενώ προεκτείνεται ο παραλληλισμός χώρου και χρόνου που ενυπήρχε ήδη στη θεωρία της σχετικότητας. «Φαίνεται», έγραφε ο Γκέντελ «πως οι χρονικές συνθήκες σε αυτά τα σύμπαντα παρουσιάζουν …αναπάντεχα χαρακτηριστικά τα οποία ενισχύουν την ιδεαλιστική θεώρηση (σύμφωνα με την οποία οι μεταβολές είναι πάντα μη-αντικειμενικές, αποτελούν δηλαδή ψευδαίσθηση)…
Ο νεαρός ειδικός της λογικής δεν έγινε ποτέ ιδιαίτερα γνωστός ούτε στην εποχή του ούτε στην δική μας, παρ΄ όλο που το έργο του ήταν ισάξιο του Αϊνστάιν. …
Όπως η θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν έτσι και τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, θεωρήθηκαν από πολλούς ως σταθμοί στη διανοητική εξέγερση του 20ου αιώνα κατά της αντικειμενικότητας και της ορθολογικότητας. Ένα από τα πολλά κοινά ενδιαφέροντα του Γκέντελ και του Αϊνστάιν ήταν η ενασχόλησή τους με τη φύση του χρόνου.
Ο Αϊνστάιν ερμήνευσε την θεωρία του με όρους κάθε άλλο παρά υποκειμενικούς. Πίστευε πως η θεωρία της σχετικότητας παρέχει μια ρεαλιστική περιγραφή του χρόνου, η οποία όμως διαφέρει από τον υποκειμενικό τρόπο, με τον οποίο βιώνουμε το χρόνο καθημερινά. Ο αντικειμενικός χρόνος -ο χρόνος που περιγράφουν οι εξισώσεις της θεωρίας του- δεν εμφανίζει εκείνο το χαρακτηριστικό που κάνει τόσο οδυνηρή την υποκειμενική βίωση του χρόνου: την αδιάλειπτη ροή του από το παρελθόν στο δρόμο προς ένα αναπόφευκτο θάνατο. Η αντίληψη αυτή είναι λανθασμένη αν δεχθούμε την φυσική του Αϊνστάιν, η οποία αποκαλύπτει μια πραγματικότητα πολύ πιο παράξενη από την απλοϊκή ερμηνεία ότι τα πάντα είναι σχετικά και εξαρτώνται από την υποκειμενική οπτική γωνία του καθενός. Στη φυσική του Αϊνστάιν ο χρόνος δεν περνάει, δε ρέει αέναα από ένα σταθερό παρελθόν προς ένα αβέβαιο μέλλον. Ο φυσικός χρόνος είναι το ίδιο ακίνητος με το φυσικό χώρο. Όλο το φάσμα των συμβάντων ξεδιπλώνεται στη χαλαρή τετραδιάστατη χωροχρονική πολλαπλότητα. Η διάκριση σε παρελθόν, παρόν και μέλλον -διάκριση τόσο βαθειά ριζωμένη στη σκέψη μας που χωρίς αυτή δεν μπορούμε καν να περιγράψουμε τον εσωτερικό μας κόσμο- έχει νόημα μόνο μέσα σε αυτόν τον εσωτερικό κόσμο. Όπως είχε πει κάποτε ο Αϊνστάιν στον Κάρναπ, «η βίωση του τώρα σημαίνει για τον άνθρωπο κάτι ξεχωριστό, κάτι ριζικά διαφορετικό από το παρελθόν και το μέλλον. Στη φυσική, όμως, αυτή η σημαίνουσα διαφορά δεν υπάρχει και δεν μπορεί να υπάρχει».
Ο Γκέντελ συνέλαβε ένα μοντέλο του χρόνου που ικανοποιούσε τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα, ένα μοντέλο παράξενο όπως και όλο του το έργο. Στο μοντέλο του Γκέντελ ο χρόνος είναι κυκλικός. Όλα τα συμβάντα εκτυλίσσονται ανεξάρτητα από διακρίσεις ανάμεσα σε παρελθόν, παρόν και μέλλον. Σχηματίζοντας πρότυπα που επαναλαμβάνονται αέναα, ενώ προεκτείνεται ο παραλληλισμός χώρου και χρόνου που ενυπήρχε ήδη στη θεωρία της σχετικότητας. «Φαίνεται», έγραφε ο Γκέντελ «πως οι χρονικές συνθήκες σε αυτά τα σύμπαντα παρουσιάζουν …αναπάντεχα χαρακτηριστικά τα οποία ενισχύουν την ιδεαλιστική θεώρηση (σύμφωνα με την οποία οι μεταβολές είναι πάντα μη-αντικειμενικές, αποτελούν δηλαδή ψευδαίσθηση)…
Ο νεαρός ειδικός της λογικής δεν έγινε ποτέ ιδιαίτερα γνωστός ούτε στην εποχή του ούτε στην δική μας, παρ΄ όλο που το έργο του ήταν ισάξιο του Αϊνστάιν. …
1. Calvin C. Clawson: Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών εκδ. Κέδρος
2. Προκειμένου να παρουσιάσουμε το παρόν βιβλίο τεμαχίσαμε εκείνα τα σημεία που θεωρήσαμε ως τα ποιο σημαντικά του μέρη και τα συνδυάσαμε προσέχοντας να μην αλλοιώσουμε το γενικότερο πνεύμα του. Ο τίτλος του βιβλίου είναι «Αιχμάλωτος των Μαθηματικών» και κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Τραυλός.
3.Πλάτων: Συμπόσιον (211 / d-e)
4. Στην επιστημολογία, ο όρος διαίσθηση χρησιμοποιείται με την ποιο ισχυρή του σημασία.
5. Ο λατινικός όρος a priori (=εκ των προτέρων) ανήκει στην επιστημολογία και έχει να κάνει με τον τρόπο που δικαιολογείται μια πεποίθηση, με τα στοιχεία που την ενισχύουν ή την καταρρίπτουν.
6. Ρότζερ Πένροουζ καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
7. Σε ηλικία τεσσάρων ετών έπαθε αγχώδη νεύρωση που τον οδήγησε αργότερα σε υποχονδρία που τον βασάνιζε σε όλη του τη ζωή. Πέθανε στις 14 Ιουνίου 1978 από αυτοεπιβεβλημένη ασιτία (λέγεται ότι είχε βάρος 33 κιλά) λόγο του φόβου τροφικής δηλητηρίασης
2. Προκειμένου να παρουσιάσουμε το παρόν βιβλίο τεμαχίσαμε εκείνα τα σημεία που θεωρήσαμε ως τα ποιο σημαντικά του μέρη και τα συνδυάσαμε προσέχοντας να μην αλλοιώσουμε το γενικότερο πνεύμα του. Ο τίτλος του βιβλίου είναι «Αιχμάλωτος των Μαθηματικών» και κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Τραυλός.
3.Πλάτων: Συμπόσιον (211 / d-e)
4. Στην επιστημολογία, ο όρος διαίσθηση χρησιμοποιείται με την ποιο ισχυρή του σημασία.
5. Ο λατινικός όρος a priori (=εκ των προτέρων) ανήκει στην επιστημολογία και έχει να κάνει με τον τρόπο που δικαιολογείται μια πεποίθηση, με τα στοιχεία που την ενισχύουν ή την καταρρίπτουν.
6. Ρότζερ Πένροουζ καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
7. Σε ηλικία τεσσάρων ετών έπαθε αγχώδη νεύρωση που τον οδήγησε αργότερα σε υποχονδρία που τον βασάνιζε σε όλη του τη ζωή. Πέθανε στις 14 Ιουνίου 1978 από αυτοεπιβεβλημένη ασιτία (λέγεται ότι είχε βάρος 33 κιλά) λόγο του φόβου τροφικής δηλητηρίασης
Πηγή: ygeiasorama.gr
No comments:
Post a Comment